Философские проблемы математики - страница 8


Литература

  1. Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. М., 1992

  2. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963

  3. Розов М.А. Наука как традиция // Степин И.С., Горохов В.Г., Розов М.А. Философия науки и Философские проблемы математики - страница 8 техники. М., 1995, - с.70-190

  4. Кун Т. Структура научных революций. М. Прогресс, 1977. 300 с.

  5. Грязнов Б.С. Логика. Рациональность. Творчество. М., 1982.

  6. Crowe M. Ten “laws” concerning patterns of change in the history of mathematics //Hist. Math., 1975, vol. 2, pp Философские проблемы математики - страница 8.161-166

  7. Каган В.Ф. Основания геометрии, Ч.I, М.-Л., 1949

  8. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического познания. М., 1983

  9. Розов М.А. История науки и неувязка её рациональной реконструкции //Философия науки. Неувязка Философские проблемы математики - страница 8 рациональности. М., 1995, - с.216-242

  10. Розов М.А. Систематизация и теория как системы познания //На пути к теории систематизации. Новосибирск, 1995, -с.81-127

  11. Яновская С.А. О миропонимании Лобачевского // Историко-математические исследования. Вып. 3, М., 1950

  12. Лобачевский Н Философские проблемы математики - страница 8.И. Полное собрание сочинений, т.1. М.-Л., 1946

  13. Лобачевский Н.И. Три сочинения по геометрии. М., 1956

  14. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений, т.2. М.-Л., 1949


Вопросы для осознания


  1. Назовите особенности «нового мира», которым является неевклидова Философские проблемы математики - страница 8 геометрия.

  2. Что такое неведение и незнание?

  3. Что Б.С. Грязнов именует поризмом?

  4. Назовите 10 «законов» развития арифметики (Веркутис М.Ю. Формирование нового познания в арифметике: рефлексивные преобразования и оптимальные переходы. Новосибирск, 2004. стр. 87-88)

  5. Каким должна Философские проблемы математики - страница 8 быть деятельность ученых для обнаружения новых, неизвестных явлений?

  6. Какую классическую для геометрии задачку решали Лобачевский и Бойяи, когда они «натолкнулись» на новый неизвестный мир неевклидовой геометрии?

  7. Чего не сделали их предшественники, многие Философские проблемы математики - страница 8 из которых реально обосновали ряд теорем новейшей геометрии, но справедливо не считающиеся ее творцами?

  8. Как устроены «Начала» Евклида? Назовите теоремы и постулаты Евклида. Что такое абсолютная геометрия?

  9. В чем специфичность V Философские проблемы математики - страница 8 постулата Евклида? Почему его стремились обосновать еще в Старой Греции?

  10. Что такое догадка острого угла? Тупого?

  11. Появилась ли геометрия Лобачевского «путем обычного удлинения доказательных рассуждений» от неприятного?

  12. Как соображает рефлексию Философские проблемы математики - страница 8 М.А. Розов? Что такое системы с рефлексией? Рефлексивно-симметричные преобразования деятельности?

  13. Как можно разъяснить открытие Галуа (введение понятия группы), используя представления о рефлексивной симметрии?

  14. Как связаны опровержение догадки острого угла и построение совсем Философские проблемы математики - страница 8 новейшей геометрии, существование которой нереально было представить в рамках обычных математических программ?

  15. Поведайте об исследовательских работах Саккери, Ламберта, Швейкарта. Почему они не открыли неевклидову геометрию?

  16. Что такое переключение гештальта в модели Философские проблемы математики - страница 8 научных революций Т. Куна?

  17. Как связаны научная и педагогическая деятельность Лобачевского?

  18. Какую роль в открытии новейшей геометрии Лобачевским играл его энтузиазм к главным понятиям геометрии?

  19. Какой математический факт, установленный Лобачевским, сыграл Философские проблемы математики - страница 8 решающую роль в понимании им того, что открыта новенькая геометрия?

Отношение арифметики и других наук


Данный раздел содержит статью известного южноамериканского физика-теоретика ХХ века, лауреата нобелевской премии Евгения Вигнера. Он гласит о Философские проблемы математики - страница 8 чрезвычайной эффективности арифметики в естественных науках как о кое-чем таинственном, не поддающемся оптимальному разъяснению. Для обоснования этого тезиса он коротко отвечает на вопросы, что такое математика, что такое физика, каким образом математика Философские проблемы математики - страница 8 заходит в физические теории и, в конце концов, почему успехи арифметики в физике кажутся нам настолько непостижимыми. При всем этом математика определяется Вигнером как наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам Философские проблемы математики - страница 8 над специально выдуманными понятиями. В конце статьи Вигнер пишет: «Математический язык умопомрачительно отлично адаптирован для формулировки физических законов. Это расчудесный дар, который мы не осознаем и которого не заслуживаем. Нам остается только благодарить Философские проблемы математики - страница 8 за него судьбу и возлагать, что и в собственных будущих исследовательских работах мы сможем как и раньше воспользоваться им» (стр. 197 Поменять).


Е. Вигнер

^ НЕПОСТИЖИМАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ Арифметики В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ

Вигнер Е Философские проблемы математики - страница 8. Этюды о симметрии. М., 1971. Стр. 182-198.

«...по-видимому, тут есть какая-то тай­на, которую нам еще предстоит рас­крыть».

Ч. С. Пирс

Говорят такую историю. Повстречались, однажды два компаньона, знавшие друг Философские проблемы математики - страница 8 дружку еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из компаньонов стал статистиком и работал в области прогнозирования изме­нения численности народонаселения. Оттиск одной из собственных работ статистик показал бывшему Философские проблемы математики - страница 8 соученику. Начиналась ра­бота, как обычно, с гауссова рассредотачивания. Статистик растол­ковал собственному товарищу смысл применяемых в работе обозначе­ний для настоящих характеристик народонаселения, для средних и т. д. Компаньон был незначительно недоверчив Философские проблемы математики - страница 8 и никак не был уве­рен в том, что статистик его не разыгрывает.

— Откуда для тебя понятно, что все обстоит конкретно так, а не по другому? — спросил он. — А Философские проблемы математики - страница 8 это что за знак?

— Ах, это, — ответил статистик. — Это число π.

— А что оно значит?

— Отношение длины окружности к ее поперечнику.

— Ну, знаешь, гласи, да не заговаривайся, — обиделся компаньон статистика. — Какое отношение имеет численность на­родонаселения Философские проблемы математики - страница 8 к длине окружности?

Наивность восприятия друга нашего статистика вызывает у нас ухмылку. Все же, когда я слушал эту историю, меня не покидало смутное беспокойство, ибо реакция компаньона была не чем Философские проблемы математики - страница 8 другим, как проявлением здравого смысла. Еще большее замешательство я испытал через некоторое количество дней, когда один из моих студентов выразил удивление по поводу того, что для проверки собственных теорий мы отбираем только очень Философские проблемы математики - страница 8 незначитель­ное число данных (2).

«Представим для себя,— произнес студент,— что мы желаем сделать теорию, применимую для описания явлений, которыми мы до сего времени третировали, и неприменимую для описания явлений, кото­рые Философские проблемы математики - страница 8 казались нам имеющими главное значение. Можем ли мы заблаговременно утверждать, что выстроить такую теорию, имеющую не достаточно общего с имеющейся сейчас, но все же позволяю­щую разъяснять настолько же широкий круг явлений Философские проблемы математики - страница 8, нельзя?» Я вы­нужден был признать, что в особенности убедительных резонов, ис­ключающих возможность существования таковой теории, нет.

Две рассказанные истории служат иллюстрациями 2-ух основных тем моего доклада. Первой — о том, что меж Философские проблемы математики - страница 8 мате­матическими понятиями тотчас появляются совсем неожи­данные связи и что конкретно эти связи позволяют нам удивитель­но точно и правильно обрисовывать разные явления природы. 2-ой — о том, что в силу Философские проблемы математики - страница 8 последнего происшествия (по­скольку мы не осознаем обстоятельств, делающих математические понятия настолько действенными) мы не можем утверждать, яв­ляется ли теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно вероятной. Мы находимся в Философские проблемы математики - страница 8 положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько две­рей. В какой-то момент ему всегда удается подобрать ключ к оче­редной двери, но сомнения Философские проблемы математики - страница 8 относительно взаимно конкретного соответствия меж ключами и дверцами у него остаются.

Большая часть того, что будет тут сказано, не отличается новизной; в той либо другой форме подобные идеи, по-види­мому, приходили Философские проблемы математики - страница 8 в голову многим ученым. Моя основная цель состоит в том, чтоб разглядеть эти идеи с нескольких сторон. Во-1-х, направить внимание на чрезвычайную эффек­тивность арифметики в естественных науках как Философские проблемы математики - страница 8 на нечто зага­дочное, не поддающееся оптимальному разъяснению. Во-2-х, показать, что эта самая сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий. Для обоснования тезиса о непостижимо принципиальной роли, которую математика играет в Философские проблемы математики - страница 8 физике, я поста­раюсь коротко ответить на вопросы: что такое математика и что такое физика? Потом мы разглядим, каким образом матема­тика заходит в физические теории и, в конце Философские проблемы математики - страница 8 концов,— почему успехи арифметики в физике кажутся нам настолько непостижимыми. Го­раздо меньше будет сказано по второму тезису о единственно­сти физических теорий. Серьезный ответ на этот вопрос по­требовал бы большой Философские проблемы математики - страница 8 работы как в области теории, так и в области опыта; к этой работе мы по существу до сего времени .к тому же не приступали.

^ ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?

Кто-то произнес, что философия — это злоупотребление спе Философские проблемы математики - страница 8­циально разработанной терминологией (3). Следуя духу этого выражения, я мог бы найти арифметику как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработан­ным правилам над специально выдуманными понятиями. В особенности принципиальная роль Философские проблемы математики - страница 8 при всем этом, очевидно, отводится приду­мыванию новых понятий. Припас увлекательных теорем в матема­тике стремительно иссяк бы, если б их приходилось формулировать только при помощи тех понятий, которые содержатся в формули Философские проблемы математики - страница 8­ровках аксиом. Но это еще не все. Понятия простой арифметики, и а именно простой геометрии, были, бес­спорно, сформулированы для описания объектов, заимствован­ных конкретно из реального мира. Аналогичное утвер­ждение относительно Философские проблемы математики - страница 8 более сложных математических понятий, в том числе понятий, играющих важную роль в физике, по-ви­димому, ошибочно. К примеру, правила действий над парами чи­сел были, разумеется, специально выдуманы так Философские проблемы математики - страница 8, чтоб мы могли получать результаты, совпадающие с плодами дей­ствий над дробями. С правилами же этих действий мы знако­мились, ничего не зная о «парах чисел». Правила действий, производимых над последовательностями, т. е Философские проблемы математики - страница 8. над иррацио­нальными числами, также относятся к категории правил, кото­рые были сформулированы так, что воспроизводили правила действий над уже известными нам величинами. Более тонкие математические понятия — всеохватывающие числа, алгебры, линей­ные операторы, борелевские Философские проблемы математики - страница 8 огромного количества и т. д. (этот перечень можно было бы продолжать практически до бесконечности) — были задуманы как подходящие объекты, при помощи которых мате­матик мог показать упругость собственного разума, способность Философские проблемы математики - страница 8 принимать формальную красоту. Вправду, определение этих понятий и ясное осознание того, в каких увлекательных и тонких рассуждениях их можно было бы использовать, служит первым свидетельством остроумия придумавшего их матема­тика. О глубине идеи, заложенной Философские проблемы математики - страница 8 в формулировке нового ма­тематического понятия, можно судить только потом по тому, как умело удается использовать это понятие. Ве­ликий математик на сто процентов обладает всем арсеналом допусти­мых приемов мышления и Философские проблемы математики - страница 8, действуя тотчас очень рискованно, балансирует на самой грани допустимого. Уже одно то, что его безрассудство не завело его в бездну противоречий, само по себе волшебство. Тяжело поверить, что дарвиновский процесс Философские проблемы математики - страница 8 есте­ственного отбора довел наше мышление до таковой степени совер­шенства, которой оно, судя по всему, обладает. Но это не наша тема. Основная идея, к которой нам еще предстоит вер­нуться Философские проблемы математики - страница 8, состоит в другом: не вводя других понятий, не считая со­держащихся в теоремах, математик сумел бы сконструировать только очень ограниченное число увлекательных теорем, и новые понятия он вводит конкретно так, чтоб над ними можно было Философские проблемы математики - страница 8 создавать хитроумные логические операции, которые импонируют нашему чувству красивого сами по для себя и по получае­мым с помощью их результатам, владеющим большой просто­той и общностью (4).

В особенности броской Философские проблемы математики - страница 8 иллюстрацией произнесенного служат комплекс­ные числа. Ничто в имеющемся у нас опыте, разумеется, не наво­дит на идея о внедрении этих величин. Если же мы спросим у математика о причинах его энтузиазма Философские проблемы математики - страница 8 к всеохватывающим числам, то он с негодованием укажет на бессчетные роскошные теоре­мы в теории уравнений, степенных рядов и аналитических функ­ций в целом, обязанных своим возникновением на свет введению всеохватывающих чисел Философские проблемы математики - страница 8. Математик никак не склонен отрешаться от более красивых творений собственного гения (4).

^ ЧТО ТАКОЕ ФИЗИКА?

Физик лицезреет свою задачку в открытии законов неодушевлен­ной природы. Чтоб смысл этого утверждения стал ясным, не Философские проблемы математики - страница 8­обходимо проанализировать понятие «закон природы».

Окружающий нас мир поразительно сложен, и самая очевид­ная правда состоит в том, что мы не в состоянии предска­зать его будущее. В известном анекдоте только оптимист считает Философские проблемы математики - страница 8 будущее неопределенным, все же в этом случае опти­мист прав: будущее непредсказуемо. Как увидел в один прекрасный момент Шредингер, «чудо, что, невзирая на поразительную сложность мира, мы можем обнаруживать в его явлениях Философские проблемы математики - страница 8 определенные закономерности» (5).

Одна из таких закономерностей, открытая Галилеем, заключается в том, что два камня, брошенные в один и тот же момент вре­мени с одной и той же высоты, свалятся на землю сразу Философские проблемы математики - страница 8. Конкретно о таких закономерностях и речь идет в законах при­роды. Галилеева закономерность стала макетом широкого класса закономерностей. Умопомрачительной же ее следует считать по двум причинам.

Во-1-х, умопомрачительно, что эта закономерность наблю Философские проблемы математики - страница 8­дается не только лишь в Пизе и не только лишь во времена Галилея, да и в любом другом месте земного шара; она была и будет верной всегда. Это свойство закономерности Философские проблемы математики - страница 8 есть не что другое, как из­вестное свойство инвариантности. Чуть раньше [7] я уже имел случай увидеть, что без принципов инвариантности, подобных тем, которые вытекают из приведенного выше обобщения увиденного Галилеем опытнейшего факта, физика не Философские проблемы математики - страница 8 могла бы существовать.

2-ая умопомрачительная особенность закономерности, открытой Галилеем, заключается в том, что она не находится в зависимости от многих критерий, от которых в принципе могла бы зависеть. Закономерность Философские проблемы математики - страница 8 на­блюдается безотносительно к тому, идет ли дождик либо нет, проводится ли опыт в закрытой комнате либо камень кидают с Пизанской падающей башни и кто кидает камень — мужик либо дама. Закономерность остается верной, если двое Философские проблемы математики - страница 8 различных людей сразу кидают с схожей высоты два камня. Существует, разумеется, бессчетное огромное количество дру­гих критерий, не существенных для выполнимости открытой Га­лилеем закономерности. Несущественность настолько многих обстоя­тельств, которые Философские проблемы математики - страница 8 могли бы играть роль в наблюдаемом явлении, мы также называем инвариантностью [7]. Но эта инвариант­ность носит несколько другой нрав, чем предшествующая, по­скольку ее нельзя сконструировать в качестве общего принципа. Исследование критерий, влияющих Философские проблемы математики - страница 8 и, напротив, не влияющих на свободное падение тел, явилось частью первых эксперимен­тальных исследовательских работ поля силы тяжести. Только искусство и изобретательность экспериментатора позволяют ему выбирать явления, зависящие от Философские проблемы математики - страница 8 сравнимо узенького круга довольно просто реализуемых и воспроизводимых критерий (7). В рассмат­риваемом нами примере более принципиальным шагом послужило то событие, что Галилей ограничил свои наблюдения сравнимо томными телами. И вновь мы должны признать, что Философские проблемы математики - страница 8, не будь явлений, зависящих только от маленького, просто обозримого числа критерий, физика не могла бы существовать.

Хотя обе нареченные выше особенности увиденной Галилеем закономерности и представляются очень необходимыми исходя из убеждений философа Философские проблемы математики - страница 8, они не были в особенности необычными для Галилея и не содержат внутри себя никакого закона природы. Закон природы содержится в утверждении: время, в течение которого тяжелое тело падает с данной высоты, не находится Философские проблемы математики - страница 8 в зависимости от разме­ров, материала и формы падающего тела. В рамках ньютонов­ского второго «закона» это утверждение эквивалентно утвер­ждению о том, что сила тяжести, действующая на падающее тело, пропорциональна его Философские проблемы математики - страница 8 массе, но не находится в зависимости от его разме­ров, материала и формы.

Проведенный выше анализ преследовал одну цель — напо­мнить, что существование «законов природы» не настолько уж естественно и самоочевидно и Философские проблемы математики - страница 8 что способность человека тем не ме­нее открывать законы природы еще больше изумительна (8). Создатель уже имел возможность некое время тому вспять [11] (9) обра­тить внимание читателей на иерархию «законов природы» — по­следовательность Философские проблемы математики - страница 8 слоев, любой из которых содержит более ши­рокие и общие законы природы, чем предшествующий, а открытие его значит более глубочайшее по сопоставлению с уже известными слоями проникновение в строение Вселенной. Но в инте Философские проблемы математики - страница 8­ресующем нас случае более принципиальным будет то, что все эти законы природы вкупе со всеми, пусть даже самыми да­лекими следствиями из их, обхватывают только малозначительную часть наших познаний о Философские проблемы математики - страница 8 неодушевленном мире. Все законы при­роды — это условные утверждения, дозволяющие предвещать какие-то действия в дальнейшем на базе того, что понятно в дан­ный момент, при этом для пророчества грядущего некие нюансы состояния Философские проблемы математики - страница 8 мира на этот момент (фактически подав­ляющее большая часть критерий, определяющих это состояние) несущественны. Несущественность тут понимается в смысле 2-ой особенности, упоминавшейся при анализе открытой Га­лилеем закономерности (10).

Законы природы Философские проблемы математики - страница 8 хранят молчание относительно всего, что касается состояния мира на этот момент, к примеру существо­вания Земли, на которой мы живем и на которой Галилей про­водил свои опыты, существования Солнца и всего, что нас Философские проблемы математики - страница 8 окружает. Отсюда следует, что законы природы можно ис­пользовать для пророчества грядущего только в исключительных обстоятельствах, а конкретно только тогда, когда известны все су­щественные (для пророчества грядущего) условия, определяю­щие состояние Философские проблемы математики - страница 8 мира на этот момент. Отсюда же следует, что создание машин, функционирование которых физик может пред­видеть заблаговременно, является более красивым его достижением. В этих машинах физик делает ситуацию, при которой все су Философские проблемы математики - страница 8­щественные характеристики известны и поведение машины предска­зуемо. Примерами таких машин могут служить радары и ядер­ные реакторы.

Глинная цель, которую мы преследовали до сего времени, — по­казать, что все законы природы Философские проблемы математики - страница 8 представляют собой некоторые условные утверждения и обхватывают только очень маленькую часть наших познаний об внешнем мире. Так, традиционная механика - более узнаваемый макет физической теории — позволяет указывать по известным координатам и скоростям всех Философские проблемы математики - страница 8 тел 2-ые производные от координат этих тел по вре­мени, но ничего не гласит о существовании самих тел и зна­чениях их координат и скоростей на этот момент времени. Правды ради Философские проблемы математики - страница 8 следует упомянуть и о том, что, как стало понятно лет 30 вспять, даже условные утверждения, в форме кото­рых мы выражаем законы природы, не являются полностью точными, так как представляют собой только Философские проблемы математики - страница 8 вероятностные законы. Делая упор на их и используя то, что нам понятно о состоянии неодушевленного мира на этот момент, мы мо­жем только заключать более либо наименее разумные пари о его бу­дущих свойствах. Вероятностный Философские проблемы математики - страница 8 нрав законов природы не позволяет нам высказывать никаких категорических утвержде­ний, даже если ограничиться категорическими утверждениями, содержание которых обосновано состоянием мира на этот момент. Вероятностный нрав «законов природы» прояв Философские проблемы математики - страница 8­ляется и в случае машин, и его несложно найти, по край­ней мере в ядерных реакторах, работающих в режиме очень малой мощности. Все же область познаний, охватываемая законами природы, подвержена дополнительным ограничениям, вытекающим из вероятностного Философские проблемы математики - страница 8 нрава этих законов (11) (в предстоящем эти ограничения не будут играть для нас ника­кой роли).

^ РОЛЬ Арифметики В ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ

Освежив в памяти более значительные черты математи­ки и физики Философские проблемы математики - страница 8, мы можем сейчас лучше разобраться в той роли, которую математика играет в физических теориях.

В собственной ежедневной работе физик употребляет арифметику для получения результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости условных утверждений Философские проблемы математики - страница 8 этих законов к более нередко встречающимся либо интересующим его кон­кретным происшествиям. Чтоб это было вероятным, законы природы должны формулироваться на математическом языке. Но получение результатов на базе уже имеющихся теорий Философские проблемы математики - страница 8 — никак не важнейшая роль арифметики в физике. Исполняя эту функцию, математика, либо, поточнее, прикладная математика, является не столько владельцем положения, сколько средством для заслуги определенной цели.

Арифметике, но, отводится в физике Философские проблемы математики - страница 8 и другая, более «суверенная» роль. Сущность ее содержится в утверждении, сделан­ном нами при обсуждении роли прикладной арифметики: чтоб стать объектом внедрения прикладной арифметики, законы природы должны формулироваться на языке арифметики. Утвер Философские проблемы математики - страница 8­ждение о том, что природа выражает свои законы на языке арифметики, по существу было высказано 300 годов назад (12). В наши деньки оно правильно более чем когда-либо. Чтоб продемон­стрировать всю значимость использования Философские проблемы математики - страница 8 математических поня­тий при формулировке законов физики, довольно вспомнить, к примеру, теоремы квантовой механики, сформулированные в очевидном виде величавым математиком фон Нейманом [14] и в не­явном виде величавым физиком Дираком [13]. В базу Философские проблемы математики - страница 8 квантовой механики положены два понятия: понятие состояний и понятие наблюдаемых. Состояния — это векторы в гильбертовом про­странстве; наблюдаемые — самосопряженные операторы, действующие на векторы состояния: Вероятные значения наблю­даемых определяются своими значениями этих операто­ров Философские проблемы математики - страница 8 и т. д., но мы предпочитаем тормознуть на этом и не перечислять математических понятий, развитых в теории линей­ных операторов.

Очевидно, для формулировки законов природы физики от­бирают только некие математические понятия Философские проблемы математики - страница 8, используя, таким макаром, только маленькую долю всех имеющихся в ма­тематике понятий. Правда, понятия выбираются из длинноватого перечня математических понятий не произвольно: в почти всех, если не в большинстве, случаях Философские проблемы математики - страница 8 нужные понятия были незави­симо развиты физиками, и только потом было установ­лено их тождество с понятиями, уже известными математикам. Но утверждать, как это часто приходится слышать, как будто так происходит поэтому, что Философские проблемы математики - страница 8 арифметики употребляют только про­стейшие из вероятных понятий, а последние встречаются в лю­бом формализме, было бы ошибочно. Как мы уже лицезрели, матема­тические понятия вводятся не из-за их логической простоты Философские проблемы математики - страница 8 (даже последовательности пар чисел — понятия далековато не про­стые), а поэтому, что они в особенности просто поддаются узким логи­ческим операциям и упрощают проведение глубочайших и блестя­щих рассуждений. Не стоит забывать, что Философские проблемы математики - страница 8 гильбертово про­странство квантовой механики — это всеохватывающее гильбертово место с эрмитовым скалярным произведением. Для не­подготовленного разума понятие всеохватывающего числа далековато не естественно, не просто и никак не следует из физических Философские проблемы математики - страница 8 на­блюдений. Все же внедрение всеохватывающих чисел в квантовой механике никак не является вычислительным трю­ком прикладной арифметики, а становится практически нужным при формулировке законов квантовой механики. Не считая того, по Философские проблемы математики - страница 8-видимому, не только лишь всеохватывающим числам, да и так называе­мым аналитическим функциям предначертано сыграть решающую роль в формулировке квантовой теории. Я имею в виду стремительно развивающуюся теорию дисперсных соотношений.

Невольно создается воспоминание, что Философские проблемы математики - страница 8 волшебство, с которым мы сталкиваемся тут, более умопомрачительно, чем волшебство, состоящее в возможности людского разума нанизывать один за одним тыщи аргументов, не впадая при всем этом в противоречие, либо два Философские проблемы математики - страница 8 других чуда — существование законов природы и людского разума, способного раскрыть их. Из всего, что мне понятно, больше всего похоже на разъяснение плодотворности использова­ния математических понятий в физике замечание Эйнштейна: «Мы с готовностью Философские проблемы математики - страница 8 воспринимаем только те физические теории, которые владеют изяществом». Может показаться спорным, что понятия арифметики, постижение которых просит напря­женной работы мысли, владеют изяществом. Замечание Эйн­штейна в наилучшем случае отражает конкретные особенности теории Философские проблемы математики - страница 8, в которую мы готовы поверить, и не затрагивает вну­тренней непротиворечивости теории. Рассмотрению последней препядствия посвящается последующий раздел нашего доклада.

^ ТАК ЛИ УЖ Изумителен Фуррор ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ?

Почему физик употребляет Философские проблемы математики - страница 8 арифметику для формулировки собственных законов природы? Это можно разъяснить тем, что физик достаточно безответственно относится к своим действиям. В итоге, когда он обнаруживает связь меж 2-мя величи­нами, напоминающую какую-нибудь связь Философские проблемы математики - страница 8, отлично известную в арифметике, он тотчас же делает вывод, что обнаруженная им связь и есть конкретно та связь, так как никакие другие связи такого же типа ему неопознаны. В собственном докладе я совсем не собираюсь Философские проблемы математики - страница 8 опровергать выдвигаемое против физика обвинение в том, что он ведет себя несколько безответственно. В некий мере этот упрек справедлив. Принципиально увидеть, но, что математическая формулировка приобретенных физиком часто не очень четких экспериментальных Философские проблемы математики - страница 8 данных приводит в большом числе случаев к умопомрачительно четкому описанию широкого класса явлений. Это свидетельствует о том, что математический язык служит не только лишь средством общения, да и является единственным языком, на Философские проблемы математики - страница 8 котором мы можем гласить. Верно будет сказать, что математический язык отвечает существу дела. Разглядим несколько примеров.

1-ый пример встречается в особенности нередко — это движение планет. Законы свободного падения были накрепко Философские проблемы математики - страница 8 установлены в итоге тестов, проведенных приемущественно в Италии. Эти опыты не были бы очень точными в том смысле, как мы осознаем точность сейчас, частично из-за сопротивления воздуха, частично из-за того, что Философские проблемы математики - страница 8 во времена Галилея еще не умели определять недлинные промежутки времени. Все же не умопомрачительно, что в итоге этих исследовательских работ итальянские физики узнали о том, как движутся тела через атмосферу Философские проблемы математики - страница 8. Потом Ньютон соотнес закон свободного падения тел с движением Луны, заметив, что параболическая траекто­рия падающего камня на Земле и радиальная орбита Луны на небе, являются личными вариантами 1-го и такого же Философские проблемы математики - страница 8 математи­ческого объекта — эллипса. Ньютон постулировал собственный закон глобального тяготения, делая упор на единственное и в те времена очень грубое численное совпадение. С философской точки зре­ния сформулированный Ньютоном закон тяготения противоре­чил Философские проблемы математики - страница 8 и духу тех пор и самому Ньютону. Исходя из убеждений экс­перимента закон глобального тяготения был основан на очень обрывочных наблюдениях. Математический язык, на котором этот закон был сформулирован, употребляет понятие Философские проблемы математики - страница 8 2-ой производной, а те из нас, кто хоть раз пробовал провести соприка­сающуюся окружность к какой-либо кривой, знают, что поня­тие 2-ой производной не очень наглядно. Закон глобального тяготения, который Ньютон Философские проблемы математики - страница 8, не хотя того, установил и кото­рый он мог проверить только с точностью около 4%, при проверке оказался правильным с точностью до 0,0001% и так тесновато ассоциировался с представлением об абсолютной точности, что физики только не Философские проблемы математики - страница 8 так давно осмелились вновь заняться исследованием пределов его точности [15]. На пример с законом Ньютона ссылались и ссылаются многие создатели. Мы не могли не привести его первым как базовый пример закона, формулируемого при помощи Философские проблемы математики - страница 8 обычных исходя из убеждений математика понятий и владеющего точностью, лежащей далековато за пределами всякого разумного ожидания. Воспользуемся этим примером для того, чтоб снова сконструировать наш основной тезис: во-1-х, закон глобального Философские проблемы математики - страница 8 тяготения (частично поэтому, что в его форму­лировку заходит понятие 2-ой производной) прост только для математика, но никак не для обычного адекватномыслящего человека и даже не для первокурсника, если тот не Философские проблемы математики - страница 8 обладает математическими возможностями; во-2-х, закон глобального тяготения — это условный закон с очень ограниченной сферой применимости. Он ничего не гласит ни о Земле, притягиваю­щей те камешки, которые кидал Галилей, ни о радиальный форме Философские проблемы математики - страница 8 лунной орбиты, ни о планетках галлактики. Разъяснение всех этих исходных критерий остается на долю геолога и астро­нома, и задачка, стоящая перед ними, никак не легка.

Вторым примером служит рядовая простая квантовая Философские проблемы математики - страница 8 механика. Последняя берет свое начало с того момента, когда Макс Борн увидел, что некие правила вычислений, разра­ботанные Гейзенбергом, формально совпадают с издавна извест­ными математикам правилами действий над матрицами. Борн Философские проблемы математики - страница 8, Иордан и Гейзенберг предложили поменять матрицами пере­менные, отвечающие координатам и скоростям в уравнениях традиционной механики [16, 17]. Они применили правила матрич­ной механики к решению нескольких очень идеализированных заморочек и пришли к Философские проблемы математики - страница 8 очень удовлетворительным результатам, но в те времена не было разумных оснований надежды, что построенная ими матричная механика окажется верной и при более реальных критериях. Сами создатели возлагали надежды, что предложенная ими «механика в главном Философские проблемы математики - страница 8 окажется верной». Первым, кто несколькими месяцами позднее применил матричную механику к решению реальной задачки — атому водорода, — был Паули. Приобретенные им результаты оказались в неплохом согла­сии с тестом. Такое положение дел вызывало Философские проблемы математики - страница 8 удовлетво­рение, но было еще объяснимым, так как при выводе собственных правил Гейзенберг исходил из заморочек, в число которых вхо­дила древняя теория атома водорода. Волшебство вышло только то­гда Философские проблемы математики - страница 8, когда матричную механику либо математически эквива­лентную ей теорию применили к задачкам, для которых правила Гейзенберга не имели смысла. При выводе правил Гейзенберг подразумевал, что традиционные уравнения движения допускают решения, владеющие определенными Философские проблемы математики - страница 8 качествами периодичности. Уравнения же движения 2-ух электронов в атоме гелия (либо еще большего числа электронов в более томных атомах) не об­ладают этими качествами, и правила Гейзенберга в этих случаях неприменимы. Все же Философские проблемы математики - страница 8 основное состояние гелия, вычислен­ное несколько месяцев спустя Киношитой в Корнелльском уни­верситете и Бэзли в Бюро эталонов, в границах точности наблю­дений, составлявшей около 0,0000001, находилось в согласии с экспериментальными данными Философские проблемы математики - страница 8. В данном случае мы воистину из­влекли из уравнений нечто такое, что в их не закладывали.

Подобная ситуация появилась и при исследовании качествен­ных особенностей «сложных спектров», т. е. спектров томных атомов. Я Философские проблемы математики - страница 8 вспоминаю один разговор с Иорданом, который ска­зал последующее: «Когда были получены высококачественные закономер­ности спектров, последняя возможность поменять базы ма­тричной механики состояла в том, чтоб найти противо­речие Философские проблемы математики - страница 8 меж правилами, выведенными из квантовой механики, и правилами, установленными в итоге экспериментальных исследований». По другому говоря, Иордан осознавал, как бес­помощными мы оказались бы (по последней мере временно), если б в теории атома гелия внезапно Философские проблемы математики - страница 8 появилось противоре­чие. Теорию атома гелия в то время разрабатывали Келлнер и Хилераас. Применяемый ими математический формализм был очень ясен и незыблем, и, не произойди упомянутое выше волшебство с гелием Философские проблемы математики - страница 8, кризис был бы неизбежен. Очевидно, физика смогла бы так либо по другому преодолеть этот кризис. Правильно и другое: физика в том виде, как мы знаем ее сейчас, не могла бы существовать Философские проблемы математики - страница 8, если б повсевременно не повторялись чудеса, по­добные чуду с атомом гелия, которое, по-видимому, следует считать более необычным, но далековато не единственным событием во всей истории развития простой квантовой механики. Список таких Философские проблемы математики - страница 8 чудес можно было бы неограниченно продолжать. Квантовая механика достигнула многих практически настолько же умопомрачительных фурроров, и это вселяет в нас уверенность в том, что она, как мы говорим, верна.

В качестве последнего примера разглядим Философские проблемы математики - страница 8 квантовую элек­тродинамику, либо теорию лэмбовского сдвига. В то время как ньютоновская теория тяготения еще обладала приятными связями с опытом, в формулировку матричной механики опыт вхо­дит только в утонченной и Философские проблемы математики - страница 8 сублимированной форме правил Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига, главные идеи которой выдвинул Бете, была разработана Швингером. Это чисто математическая теория, и единственный вклад опыта в нее состоял в подтверждении существования пред Философские проблемы математики - страница 8­сказываемого ею измеримого эффекта. Согласие с вычислениями оказалось лучше 0,001.

Прошлые три примера (число их можно было бы увели­чить практически до бесконечности) призваны были продемонстриро­вать эффективность и точность математической формулировки законов природы Философские проблемы математики - страница 8 при помощи специально отобранных «удобных в обращении» понятий; выяснилось, что «законы природы» об­ладают практически умопомрачительной точностью, но строго ограниченной сферой применимости. Я предлагаю именовать закономерность, подмеченную на этих примерах, эмпирическим законом Философские проблемы математики - страница 8 эпистемологии. Вкупе с принципами инвариантности физических теорий эмпирический закон эпистемологии служит крепким основанием этих теорий. Не будь принципов инвариантности, физические теории нельзя было бы подкреплять тестом. Не будь эмпирического закона эпистемологии, нам не Философские проблемы математики - страница 8 хватило бы мужества и убежденности — чувственных предпосылок, без которых нельзя было бы удачно изучить «законы природы». Сакс, с которым я дискуссировал эмпирический закон эпистемологии, именовал его догматом веры физика-теоретика и Философские проблемы математики - страница 8 был, непременно, прав. Но то, что он именовал нашим догматом веры, подкрепляется примерами из практики, куда более бессчетными, чем три примера, приведенные в нашем докладе.

^ ЕДИНСТВЕННОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ

Эмпирическая природа изготовленных Философские проблемы математики - страница 8 выше замечаний представляется мне самоочевидной. Они очевидно не принадлежат к числу «логически необходимых», и, чтоб обосновать это, совсем не надо указывать на то, что они применимы только к очень малозначительной части наших познаний о Философские проблемы математики - страница 8 неодушевленном мире. Было бы несуразно считать, как будто существование обычных исходя из убеждений математика выражений для 2-ой производной от координат по времени самоочевидно, в то время как подобных выражений для самой Философские проблемы математики - страница 8 координаты либо скорости не существует. Тем большее удивление вызывает та готовность, с которой расчудесный дар, находящийся в эмпирическом законе эпистемологии, был воспринят как нечто само собой разумеющееся. Способность людского разума нанизывать, оставаясь Философские проблемы математики - страница 8 «правым» (т. е. не впадая в противоречие), цепочки из 1000 и поболее аргументов — дар, более умопомрачительный.

Каждый эмпирический закон обладает тем противным свойством, что пределы его применимости неопознаны. Мы уже удостоверились в том, что Философские проблемы математики - страница 8 закономерности в явлениях окружающего нас мира допускают формулировку при помощи математических по­нятий, владеющую сверхъестественной точностью. С другой стороны, в окружающем нас мире имеются и такие явления, рассматривая которые, мы не убеждены Философские проблемы математики - страница 8, что меж ними есть какие-либо четкие закономерности. Такие явления мы называем исходными критериями. Вопрос, который появляется в этой связи, состоит в последующем: не соединятся ли разные закономерности, т. е. разные Философские проблемы математики - страница 8 законы природы, которые будут открыты, в единое непротиворечивое целое либо, по последней мере, не найдут ли они асимптотическую тенденцию к такому слиянию? В неприятном случае мы всегда могли бы указать законы природы, не имеющие Философские проблемы математики - страница 8 меж собой ничего общего. Конкретно так, по последней мере, обстоит дело с законами наследственности и законами физики. Может случиться даже так, что следствия из неких законов природы будут противоречить Философские проблемы математики - страница 8 друг дружке, но мы не захотим отрешиться ни от 1-го из законов, так как любой из их в собственной области довольно убедителен. Найдя противоречие меж отдельными законами природы, мы можем покориться таковой ситуации Философские проблемы математики - страница 8 и утратить энтузиазм к разрешению конфликта меж разными теориями. Мы можем разочароваться в поисках «абсолютной истины», т. е. непротиворечивой картины, образующейся при слиянии в единое целое малеханьких картинок, отражающих разные нюансы природы.

Обе кандидатуры Философские проблемы математики - страница 8 полезно проиллюстрировать на примере. В современной физике есть две теории, владеющие большой мощью и представляющие большой энтузиазм: квантовая теория и теория относительности. Своими корнями нареченные теории уходят во взаимно исключающие Философские проблемы математики - страница 8 группы явлений. Теория относительности применима к макроскопическим телам, к примеру к звездам. Первичным в теории относительности считается явление совпадения, т. е. в конечном счете столкновения частиц. Сталкиваясь, частички определяют либо, по последней мере Философские проблемы математики - страница 8, должны могли быть определять (если б они были нескончаемо малыми) точку в пространстве-времени. Квантовая теория своими корнями уходит в мир микроскопичных явлений, и с ее точки зрения явление совпадения либо Философские проблемы математики - страница 8 столкновения, даже если оно происходит меж частичками, не владеющими пространственной протяженностью, нельзя считать первичным и верно локализованным в пространстве-времени. Обе теории — квантовая теория и теория относительности — оперируют разными математиче­скими понятиями: 1-ая Философские проблемы математики - страница 8 — понятием четырехмерного риманова места, 2-ая — понятием бесконечномерного гильбертова места. До сего времени все пробы соединить обе теории оканчивались неудачей, т. е. не удавалось отыскать математическую формулировку теории, по отношению к Философские проблемы математики - страница 8 которой квантовая теория и теория относительности игрались бы роль приближений. Все физики считают, что объединение обеих теорий принципно может быть и нам получится в конце концов достигнуть его. Но нельзя исключать и Философские проблемы математики - страница 8 другую возможность — что нам не получится выстроить теорию, объединяющую квантовую механику и теорию относительности. Приведенный пример указывает, что ни одну из нареченных способностей — объединение 2-ух теорий и конфликт меж ними — нельзя отбрасывать заблаговременно.

Чтоб получить Философские проблемы математики - страница 8 хотя бы намек, какую же из 2-ух альтернатив нам следует, в конце концов, ждать, притворимся чуточку более несведущими, чем мы являемся в реальности, и опустимся на более малый уровень познания. Если Философские проблемы математики - страница 8, оставаясь на этом уровне познания, мы будем в состоянии найти возможность слияния наших теорий, то можно с уверенностью сказать, что и на настоящем уровне наших познаний такое слияние также окажется Философские проблемы математики - страница 8 вероятным. С другой стороны, найдя конфликт на более малом уровне познаний, мы не сможем исключить возможность существования непримиримо конфликтующих теорий и после возвращения на настоящий уровень наших познаний. Уровень познания и степень нашего умственного развития Философские проблемы математики - страница 8 меняются безпрерывно, и маловероятно, чтоб сравнимо слабенькая вариация этой непрерывной функции изменяла имею­щуюся в нашем распоряжении картину мира, в один момент превра­щая ее из несогласованной в поочередную (13).

Высказанной только-только Философские проблемы математики - страница 8 точке зрения противоречит тот факт, что некие теории, неточность которых нам заранее известна, позволяют получать умопомрачительно четкие результаты. Если б мы знали мало меньше, то круг явлений, объясняемых этими «ложными» теориями Философские проблемы математики - страница 8, казался бы нам довольно огромным для того, чтоб уверовать в их «правильность». Но эти теории мы считаем «ошибочными» конкретно поэтому, что, как указывает более кропотливый анализ, они противоречат более широкой картине, и Философские проблемы математики - страница 8, если таких теорий найдено довольно много, они обязательно вступают в конфликт вместе. Не исключена и другая возможность: теории, которые мы, делая упор на довольно огромное, по нашему воззрению, число подтверждающих фактов, считаем «верными Философские проблемы математики - страница 8», по сути являются «ошибочными» поэтому, что противоречат более широкой, полностью допустимой, но еще пока не открытой теории. Если б дело обстояло конкретно так, мы должны могли быть ждать конфликта меж нашими теориями Философские проблемы математики - страница 8, когда число их превзойдет определенный уровень и они будут обхватывать довольно широкий круг явлений. В отличие от уже упоминавшегося догмата веры физика-теоретика эту идея следовало бы именовать «кошмаром Философские проблемы математики - страница 8» теоретика.

Разглядим несколько примеров «ошибочных» теорий, дающих, вопреки собственной неточности, умопомрачительно четкое описание разных групп явлений. Если не быть очень придирчивым, то некие подробности, относящиеся к этим примерам, можно опустить. Фуррор первых основополагающих мыслях Философские проблемы математики - страница 8 Бора в теории строения атома был очень ограниченным, как, вобщем, и фуррор эпициклов Птолемея. Сейчас мы находимся в более удачном положении и можем точно указать все явления, которые допускают описание в рамках этих Философские проблемы математики - страница 8 простых теорий. Мы не можем утверждать ничего подобного о так именуемой теории свободных электронов, которая дает умопомрачительно точную картину параметров большинства, если не всех, металлов, полупроводников и изоляторов. А именно Философские проблемы математики - страница 8, теория свободных электро­нов разъясняет тот факт (который так и не удалось разъяснить на базе «настоящей теории»), что удельное сопротивление изоляторов может в 1026 превосходить удельное сопротивление ме­таллов. Более того, не существует экспериментальных данных Философские проблемы математики - страница 8, которые бы внушительно проявили, что сопротивление естественно при критериях, когда, согласно теории свободных электронов, оно должно было бы обращаться в бесконечность. Все же мы убеждены, что эта теория представляет собой только Философские проблемы математики - страница 8 грубое приближение и при описании явлений, происходящих в жестких те­лах, ее должна была бы поменять более четкая картина.

Достигнутые к истинному времени успехи позволяют считать, что ситуация с теорией свободных Философские проблемы математики - страница 8 электронов несколько тревожна, но никак не свидетельствует о каких-либо неодолимых противоречиях. Теория свободных частей принуждает нас колебаться в другом: как мы можем доверять численному совпадению меж теорией и тестом как показателю корректности Философские проблемы математики - страница 8 теории. К такового рода сомнениям мы привыкли.

Еще больше проблем и колебаний появилось бы, если б в один красивый денек нам удалось выстроить теорию сознания либо создать теоретическую биологию, настолько Философские проблемы математики - страница 8 же непротиворечивую и убедительную, как и имеющиеся сейчас теории неодушевленного мира. Если гласить о биологии, то законы наследственности Менделя и следующее развитие генетики полностью можно считать зачатками таковой теории. Более того, не исключено, что Философские проблемы математики - страница 8 кому-нибудь получится найти некоторый абстрактный аргумент, свидетельствующий о конфликте меж таковой теорией и принятыми основами физики. Аргумент этот может быть настолько абстрактным, что упомянутый конфликт нельзя будет разрешить в Философские проблемы математики - страница 8 пользу одной из теорий при помощи опыта. Такая ситуация очень пошатнула бы нашу веру в суще­ствующие теории и в действительность создаваемых нами понятий. Мы испытали бы чувство глубочайшего расстройства в поисках того, что Философские проблемы математики - страница 8 я именовал «абсолютной истиной». Причина, по которой схожую ситуацию нельзя считать заблаговременно исключенной, заключается в том, что нам в принципе непонятно, почему наши теории «работают» так отлично. Их точность может еще Философские проблемы математики - страница 8 не свидетельствовать об их корректности и непротиворечивости. Создатель данного доклада убежден, что нечто схожее появляется при попытке сопоставить современные законы наследственности с физическими законами.

Я желал бы окончить более удовлетворенной ноткой. Математиче Философские проблемы математики - страница 8­ский язык умопомрачительно отлично адаптирован для формулировки физических законов. Это расчудесный дар, который мы не осознаем и которого не заслуживаем. Нам остается только благодарить за него судьбу и возлагать, что и в собственных Философские проблемы математики - страница 8 будущих исследовательских работах мы сможем как и раньше воспользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (отлично это либо плохо) будет безпрерывно возрастать, принося нам не только лишь удовлетворенность, да Философские проблемы математики - страница 8 и новые голово­ломные трудности.

Я желал бы поблагодарить Поляни, который издавна уже оказывает глубочайшее воздействие на мою точку зрения в связи с пробле­мами эпистемологии, и Баргмана за дружественную критику, способствовавшую достижению ясности. Я Философские проблемы математики - страница 8 очень благодарен также Шимони, просмотревшему рукопись данного доклада и обратившему мое внимание на статьи Пирса,

ЛИTEPATУPA

1. Dubislav W., Die Philosophic der Mathematik in der Gegenwart, Junker und Dunnhaupt Verlag, Berlin, 1932.

2. Polanyi M., Personal Философские проблемы математики - страница 8 Knowledge, University of Chicago Press, Chicago, 1958, p. 188.

3. Hilbert D., Abhandl. Math. Sem., Univ. Hamburg, 157 (1922).

4. Hilbert D., Gesammelte Werke, Springer Verlag, Berlin, 1935.

5. Schrodinger E., Uber Indeterminismus in der Physik, J. A. Barth, Leipzig Философские проблемы математики - страница 8, 1932.

6. Dubislav W., Naturphilosophie, Junker und Dunnhaupt, Verlag, Berlin, 1933, Kap. 4.

7. Wigner E., Proc. Amer. Phil. Soc., 93, 521 (1949). (Статья 1-ая данной книжки.)

8. Deutsch M., Daedalus, 87, 86 (1958).

9. Peirce C. S., Essays in Philosophy of Science, The Liberal Философские проблемы математики - страница 8 Arts Press, New York, 1957, p. 237.

10. Schrodinger E., What is Life?, Cambridge University Press, Cambridge, 1945, p. 31. (Имеется перевод: Шредингер Э. Что такое жизнь исходя из убеждений физики?, ИЛ, 1947.)

11. Wigner E., Proc. Amer Философские проблемы математики - страница 8. Phil. Soc., 94, 422 (1950). (Статья 12 данной книжки.)

12. Margenau H., The Nature of Physical Reality, McGraw-Hill, New York, 1950, ch. 8.

13. Dirac P. A. M., Quantum Mechanics, 3rd Ed., Clarendon Press, Oxford, 1947. (Имеется перевод: Дирак П.А Философские проблемы математики - страница 8.М., Принципы квантовой механики, Физматгиз, М.. 1960)

14. von Neumann J., Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer Verlag, Berlin, 1932. (Имеется перевод: Иоганн фон Нейман, Математические базы квантовой механики, изд-во «Наука», М., 1964.)

15. Dicke R Философские проблемы математики - страница 8. H,, Amer. Sci., 25 (1959).

16. Born M., Jordan P., Zs. Phys., 34, 858 (1925).

17. Born M., Heisenberg W., Jordan P., Zs. Phys., 35, 557 (1926).

Примечания

1. Доклад прочитан 11 мая 1969 г. в Нью-Йоркском институте на Курантовских математических лекциях. Размещен в Философские проблемы математики - страница 8 журнальчике: Соmm. Риге аnd Арpl. Маth„ 13, 1 (1960).

2. Идет речь о замечании Вернера, в то время студента Принстонского института,

3. Приведенное замечание принадлежит Дубиславу [1].

4. Поляни [2] (на стр. 188) гласит последующее: «Все упомянутые выше трудности проистекают единственно из Философские проблемы математики - страница 8 нашего нежелания осознать, что мате­матику как науку нельзя найти, не признав ее более тривиального свой­ства — того, что она интересна».

5. В этой связи читателю будет небезынтересно ознакомиться с очень Философские проблемы математики - страница 8 яркими замечаниями Гильберта об интуиционизме, который пробует «подорвать и обезобразить математику» (см. [3, 4]).

6. См. работу Шредингера [5], также работу Дубислава [6].

7. В этой связи см. также броский очерк Дейча [8]. Шимони направил мое внимание на аналогичную Философские проблемы математики - страница 8 идея у Пирса [9].

8. Шредингер [10] гласит, что 2-ое волшебство также может выходить за рамки людского осознания.

9. См. также работу Маргенау [12].

10. Создатель считает лишним припоминать о том, что приведенная выше фор­мулировка закона Галилея не Философские проблемы математики - страница 8 исчерпывает на сто процентов содержания выполнен­ных Галилеем наблюдений но выяснению законов свободного падения тел.

11. См., к примеру, работу Шредингера [5],

12. Его приписывают Галилею.

13. Эту идея я написал после огромных колебаний. Я Философские проблемы математики - страница 8 убежден, что в эпистемологических обсуждениях полезно отрешиться от представления об исклю­чительно высочайшем положении уровня людского ума на абсолютной шкале. В ряде всевозможных случаев полезно рассматривать заслуги, доступные и при уровне развития, характерном Философские проблемы математики - страница 8 отдельным видам животных. Я вполне от­даю для себя отчет в том, что идеи, приведенные в тексте доклада, очерчены очень быстро и не подвергались довольно критичному дискуссии, что­бы их можно было считать надежными Философские проблемы математики - страница 8.


Вопросы для осознания


  1. Какие две основных темы собственного доклада именует Е. Вигнер?

  2. Вигнер определяет арифметику так - «Я мог бы найти арифметику как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработан Философские проблемы математики - страница 8­ным правилам над специально выдуманными понятиями. В особенности принципиальная роль при всем этом, очевидно, отводится приду­мыванию новых понятий. Припас увлекательных теорем в матема­тике стремительно иссяк бы, если б их приходилось формулировать только при Философские проблемы математики - страница 8 помощи тех понятий, которые содержатся в формули­ровках аксиом». Как по Вашему «придумываются» новые понятия в арифметике? Придумываются ли они?

  3. «Комплексные числа, алгебры, линей­ные операторы, борелевские огромного количества Философские проблемы математики - страница 8 и т. д. (этот перечень можно было бы продолжать практически до бесконечности) — были задуманы как подходящие объекты, при помощи которых мате­матик мог показать упругость собственного разума, способность принимать формальную красоту» (стр. 3). Согласны ли Философские проблемы математики - страница 8 вы с тем, что нареченные выше понятия были задуманы математиками? И что они были задуманы для демонстрации гибкости собственного разума?

  4. «Новые понятия математик вводит конкретно так, чтоб над ними можно было Философские проблемы математики - страница 8 создавать хитроумные логические операции, которые импонируют нашему чувству красивого сами по для себя и по получае­мым с помощью их результатам, владеющим большой просто­той и общностью». (4). Назовите другой вероятный механизм Философские проблемы математики - страница 8 появления новых математических понятий (см. напр. Веркутис М.Ю. Формирование нового познания в арифметике: рефлексивные преобразования и оптимальные переходы, гл. 4 (4.1 и 4.2 о механизмах появления теории множеств и неевклидовой геометрии)

  5. «Ничто в имеющемся у Философские проблемы математики - страница 8 нас опыте, разумеется, не наво­дит на идея о внедрении этих величин». Стр. 3-4. Так ли это? Как исторически были введены всеохватывающие числа? Если в понятие опыта включить опыт решения уравнений, тогда Философские проблемы математики - страница 8 ответ о появлении всеохватывающих чисел будет совершенно другим.

  6. В чем лицезреет физика свою задачку? Какие принципы, соответствующие для законов природы, именует Вигнер? Какую закономерность (связанную с бросанием камешков) открыл Галилей? Что необычного Философские проблемы математики - страница 8 лицезреет Вигнер в закономерности, открытой Галилеем?

  7. «существование «законов природы» не настолько уж естественно и самоочевидно и способность человека, все же, открывать законы природы еще больше изумительна (8). Как Вигнер соображает законы при­роды? Согласны ли Вы Философские проблемы математики - страница 8 с этим?

  8. Какую роль играет математика в физике?

  9. Почему Вигнер гласит об использовании арифметики в физике как о чуде?

  10. Почему физик употребляет арифметику для формулировки собственных законов природы?

  11. В чем Философские проблемы математики - страница 8 сущность эмпирического закона эпистемологии, о котором гласит Вигнер? На каких примерах использования арифметики в физике этот закон подмечен Вигнером?

О каких 2-ух других отношениях меж теориями в физике гласит Вигнер?

  1. Какие примеры Философские проблемы математики - страница 8 теорий, неточность которых нам заранее известна, позволяют получать умопомрачительно четкие результаты?

  2. Теория свободных частей принуждает нас колебаться в другом: как мы можем доверять численному совпадению меж теорией и тестом как показателю корректности теории Философские проблемы математики - страница 8. К такового рода сомнениям мы привыкли.

  3. «нам в принципе непонятно, почему наши теории «работают» так отлично. Их точность может еще не свидетельствовать об их корректности и непротиворечивости. Создатель данного доклада Философские проблемы математики - страница 8 убежден, что нечто схожее появляется при попытке сопоставить современные законы наследственности с физическими законами». Согласны ли Вы с этими утверждениями?

  4. «Математиче­ский язык умопомрачительно отлично адаптирован для формулировки физических законов. Это расчудесный дар, который мы Философские проблемы математики - страница 8 не осознаем и которого не заслуживаем». (стр. 15). Вправду ли нельзя осознать изумительную эффективность арифметики?


Появление арифметики

Основная неувязка статьи Дж. Нидама - почему современная наука, какой мы ее знаем с семнадцатого Философские проблемы математики - страница 8 столетия, с Галилея, не развилась ни в китайской, ни в индийской цивилизации, а появилась конкретно в Евро­пе. Вместе с этим дискуссируется вопрос - почему меж I ве­ком до н. э. и XV веком Философские проблемы математики - страница 8 н. э. китайская цивилизация была более высочайшей, чем западная, исходя из убеждений эф­фективности приложения человечьих познаний к нуждам людской практики. Ответы на эти вопросы создатель отыскивает, сначала, в соц, духовных и Философские проблемы математики - страница 8 экономических структурах Западной и Восточной цивилизаций. Он желает уйти от таких разъяснений обстоятельств появления «греческого чуда», как а) незапятнанная случайность и б) расизм (представление о том, что определенная группа народов, в Философские проблемы математики - страница 8 этом случае «европейская раса», обладает каким-то прирожденным приемуществом, выделена посреди всех других групп народов). Он подчеркивает дух активизма старых греков, с одной стороны, и – принцип невмешательства, «ву вей», соответствующий для Философские проблемы математики - страница 8 Китая. Народный герой греков – мореход, тогда как в Китае – специалист-гидролог. Китаец – это, сначала крестьянин, а не скотовод либо мореход. Крестьянин, если он сделал все, что положено, обязан ожидать урожая, тогда как скотоводство и мореплавание Философские проблемы математики - страница 8 развивают склонности к командованию и подчинению. «Принцип невмешатель­ства тяжело было бы согласовать со специфично западным «вмешательством», которое естественно для народа пастухов и мореплавателей. Принцип невмеша­тельства мешал циничному виду мышления за Философские проблемы математики - страница 8­нять ведущее место в цивилизации. Вот поэтому он не был в состоянии соединить технику высочайшего мастерства с учеными способами математического и логиче­ского мышления. Шаг научного развития от Леонардо да Винчи до Философские проблемы математики - страница 8 Галилея не был пройден естествознанием Китая, его, может быть, и нельзя было пройти. В средне­вековом Китае систематическое экспериментирование ве­лось в огромных масштабах, чем в старой Греции либо в Философские проблемы математики - страница 8 средневековой Европе, но, пока существовал «бюро­кратический феодализм», математика не могла объеди­ниться с эмпирическими наблюдениями природы, а экс­перимент — дать нечто фундаментально новое. Дело в том, что опыт просит очень активного вме­шательства Философские проблемы математики - страница 8, и, хотя к такому вмешательству приходи­лось терпимо относиться в ремесле и торговле более терпимо даже, чем в Европе, получить философскую сан­кцию в Китае активному вмешательству было, видимо, труднее Философские проблемы математики - страница 8» (стр. наст издания).

Нидам тщательно охарактеризовывает бюрократический феодализм, сложившийся в Китае, и его отличия от экономического и муниципального устройства средневековой Европы и высказывает надежду, что когда-нибудь доступные анализу различия меж социально-экономическими формациями Философские проблемы математики - страница 8 Китая и Западной Европы растолкуют и приемущество китайской науки и техники в средние века и появление современной науки исключительно в Европе.


filosofiya-yazika-i-teoriya-istini-ktvardovskogo-referat.html
filosofiya-zenona-elejskogo.html
filosofiya-zhizni-i-eyo-osnovnie-problemi.html